Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x^{4}+3 x}{x^{4}+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^{4}+3x}{x^{4}+1}.
Estamos lidando com o limite de uma função racional cujo numerador e denominador são polinômios de mesmo grau ( 4). Nesse caso, o comportamento para x\to\pm\infty é dado pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Para ver isso de forma explícita, dividimos numerador e denominador por x^{4}:
\frac{3x^{4}+3x}{x^{4}+1} =\frac{x^{4}\bigl(3+\tfrac{3}{x^{3}}\bigr)}{x^{4}\bigl(1+\tfrac{1}{x^{4}}\bigr)} =\frac{3+\tfrac{3}{x^{3}}}{1+\tfrac{1}{x^{4}}}.
Quando x\to-\infty, temos \tfrac{3}{x^{3}}\to0 e \tfrac{1}{x^{4}}\to0. Logo,
\lim_{x\to-\infty}\frac{3+\tfrac{3}{x^{3}}}{1+\tfrac{1}{x^{4}}} =\frac{3+0}{1+0}=3.

Resposta

O limite é 3.

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