Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{4}-3 x^{3}}{3-6 x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{4}-3x^{3}}{3-6x^{4}}.
Esse é um limite de uma função racional no infinito. A técnica mais direta é fatorar a maior potência de x tanto no numerador quanto no denominador para simplificar.

Passo 2

Vamos fatorar x^{4} do numerador e do denominador:
x^{4}-3x^{3} = x^{4}\Bigl(1 - \frac{3}{x}\Bigr),
3-6x^{4} = x^{4}\Bigl(\frac{3}{x^{4}} - 6\Bigr) = x^{4}\Bigl(-6 + \frac{3}{x^{4}}\Bigr).
Então a expressão original vira
\frac{x^{4}-3x^{3}}{3-6x^{4}} = \frac{x^{4}\bigl(1 - \tfrac{3}{x}\bigr)}{x^{4}\bigl(-6 + \tfrac{3}{x^{4}}\bigr)} = \frac{1 - \tfrac{3}{x}}{-6 + \tfrac{3}{x^{4}}}.

Passo 3

Agora, ao deixar x\to+\infty, os termos \tfrac{3}{x} e \tfrac{3}{x^{4}} tendem a zero. Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{1 - \tfrac{3}{x}}{-6 + \tfrac{3}{x^{4}}} = \frac{1 - 0}{-6 + 0} = -\frac{1}{6}.

Resposta

-\frac{1}{6}

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