Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{4}-2 x+1}{4 x^{4}+3 x+2}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{5x^{4}-2x+1}{4x^{4}+3x+2}.
Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos 4), sabemos que o limite será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Para evidenciar os termos de maior grau, fatoramos x^{4} em numerador e denominador:
\frac{5x^{4}-2x+1}{4x^{4}+3x+2} =\frac{x^{4}\bigl(5 - 2/x^{3} + 1/x^{4}\bigr)}{x^{4}\bigl(4 + 3/x^{3} + 2/x^{4}\bigr)} =\frac{5 - 2/x^{3} + 1/x^{4}}{4 + 3/x^{3} + 2/x^{4}}.

Passo 3

Quando x\to -\infty temos 1/x^{3}\to 0 e 1/x^{4}\to 0. Logo o numerador tende a 5 e o denominador tende a 4, de modo que o quociente tende a
\frac{5}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}

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