Problema 4. Calcule os seguintes limites. Justifique cuidadosamente todos os passos.
(1.0 pt) \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[\left(1+\frac{1}{3 x}\right)^{x+2}\right]

Passo 1

O enunciado pede
L \;=\;\lim_{x\to+\infty}\ln\Bigl[\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr)^{x+2}\Bigr].
Aqui vamos usar a propriedade de logaritmo de potência, a continuidade de \ln e o limite fundamental
\lim_{t\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{t}\Bigr)^{t}=e.

Passo 2

Reescrevendo o argumento de \ln como produto de potências:
\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr)^{x+2} =\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr)^{x}\;\cdot\;\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr)^{2}.
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L =\lim_{x\to+\infty}\Bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr)^{x} \;+\;\ln\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr)^{2}\Bigr] =\lim_{x\to+\infty}\Bigl[x\,\ln\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr)\Bigr] \;+\; \lim_{x\to+\infty}2\,\ln\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr).

Passo 3

Para o segundo termo, como \ln(1+u)\sim u quando u\to0, temos
2\,\ln\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr)\;\sim\;2\cdot\tfrac{1}{3x}\;\to\;0.
Para o primeiro termo note que
x\,\ln\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr) =\tfrac{1}{3}\;(3x)\,\ln\bigl(1+\tfrac{1}{3x}\bigr) \longrightarrow\tfrac{1}{3}\cdot1
pois \lim_{t\to+\infty}t\ln\bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)=1. Portanto
L=\tfrac{1}{3}+0=\tfrac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{3}

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