Problema 4. Calcule os seguintes limites. Justifique cuidadosamente todos os passos.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
O conteúdo envolve análise de limites em que o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor não nulo, gerando um limite infinito. Vamos usar a continuidade e o caráter crescente da função exponencial para justificar o comportamento de
quando
.
Passo 2
Analisamos o limite do numerador e do denominador separadamente.
Para o numerador:
Para o numerador:
Para o denominador:
Como o numerador tende a
e o denominador tende a
, esperamos um limite de módulo infinito.
Passo 3
Determinamos o sinal de cada parte quando
se aproxima de
pela esquerda:
- Se
, então , logo . - Se
, então .
Portanto, parao numerador é negativo e o denominador também é negativo, e a razão será positiva.
Passo 4
Como
tende a zero quando
e o numerador tende a
, o quociente em valor absoluto cresce sem limite. Juntando isso ao sinal positivo obtido no passo anterior, concluímos que