Problema 4. Calcule os seguintes limites. Justifique cuidadosamente todos os passos.
(1.0 \mathrm{pt}) \lim _{u \rightarrow 3^{-}} \frac{1-u}{2^{u}-8}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{u\to 3^-}\frac{1 - u}{2^{u} - 8}.
O conteúdo envolve análise de limites em que o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor não nulo, gerando um limite infinito. Vamos usar a continuidade e o caráter crescente da função exponencial para justificar o comportamento de 2^{u}-8 quando u\to3^-.

Passo 2

Analisamos o limite do numerador e do denominador separadamente.
Para o numerador:
\lim_{u\to3^-}(1 - u) = 1 - 3 = -2.
Para o denominador:
\lim_{u\to3^-}(2^{u} - 8) = 2^{3} - 8 = 8 - 8 = 0.
Como o numerador tende a -2\neq0 e o denominador tende a 0, esperamos um limite de módulo infinito.

Passo 3

Determinamos o sinal de cada parte quando u se aproxima de 3 pela esquerda:
  • Se u<3, então 2^{u}<2^{3}=8, logo 2^{u}-8<0.
  • Se u<3, então 1-u<1-3=-2<0.
    Portanto, para u\to3^- o numerador é negativo e o denominador também é negativo, e a razão será positiva.

Passo 4

Como \lvert 2^{u}-8\rvert tende a zero quando u\to3^- e o numerador tende a -2, o quociente em valor absoluto cresce sem limite. Juntando isso ao sinal positivo obtido no passo anterior, concluímos que
\lim_{u\to3^-}\frac{1 - u}{2^{u} - 8} = +\infty.

Resposta

+\infty

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