Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função racional
Informações dadas: numerador é o polinômio
e denominador é o polinômio
. A variável
tende a
.
Passo 2
Observação importante (o que o problema sugere): numerador e denominador são polinômios de mesma ordem (grau
). Há uma regra prática para limites de funções racionais quando
: se o grau do numerador e do denominador é o mesmo, o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Vou justificar essa regra a seguir, porque é exatamente o que vamos usar.
Passo 3
Justificação da regra (dividindo por
). Seja uma função racional onde numerador e denominador têm grau
. Divide-se numerador e denominador por
para ver o comportamento das parcelas menores quando
. Em termos gerais:
Como
,
, … tendem a
quando
, o limite da fração é simplesmente
. Essa é a razão da regra.
Passo 4
Aplicando a divisão por
ao nosso caso: dividir numerador e denominador por
dá
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. As fracções
,
,
tendem todas a
(independentemente do sinal de
quando o módulo cresce sem limite). Portanto o numerador da expressão acima tende a
e o denominador tende a
. Assim o limite é
Intuição rápida: para valores muito grandes em módulo, os termos cúbicos dominam; temos algo como
.
Passo 6
Conclusão e ânimo: o cálculo é direto graças à dominância dos termos de maior grau. Fica a dica para a prova — ao ver uma razão de polinômios, compare os graus; isso normalmente dá a resposta muito rápido.