Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{3}-x+1}{x^{3}+5 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a -\infty da função racional
\frac{2 x^{3}-x+1}{x^{3}+5 x^{2}}.
Informações dadas: numerador é o polinômio 2x^{3}-x+1 e denominador é o polinômio x^{3}+5x^{2}. A variável x tende a -\infty.

Passo 2

Observação importante (o que o problema sugere): numerador e denominador são polinômios de mesma ordem (grau 3). Há uma regra prática para limites de funções racionais quando x\to\pm\infty: se o grau do numerador e do denominador é o mesmo, o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Vou justificar essa regra a seguir, porque é exatamente o que vamos usar.

Passo 3

Justificação da regra (dividindo por x^n). Seja uma função racional onde numerador e denominador têm grau n. Divide-se numerador e denominador por x^{n} para ver o comportamento das parcelas menores quando x\to\pm\infty. Em termos gerais:
\frac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots}{b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1}+\cdots} = \frac{a_n + a_{n-1}\frac{1}{x}+\cdots}{b_n + b_{n-1}\frac{1}{x}+\cdots}.
Como \frac{1}{x}, \frac{1}{x^2}, … tendem a 0 quando x\to\pm\infty, o limite da fração é simplesmente \dfrac{a_n}{b_n}. Essa é a razão da regra.

Passo 4

Aplicando a divisão por x^{3} ao nosso caso: dividir numerador e denominador por x^{3}
\frac{2 x^{3}-x+1}{x^{3}+5 x^{2}} = \frac{2 - \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{3}}}{1 + \dfrac{5}{x}}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando x\to -\infty. As fracções \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}}, \dfrac{1}{x^{3}} tendem todas a 0 (independentemente do sinal de x quando o módulo cresce sem limite). Portanto o numerador da expressão acima tende a 2 e o denominador tende a 1. Assim o limite é
\frac{2}{1}=2.
Intuição rápida: para valores muito grandes em módulo, os termos cúbicos dominam; temos algo como \dfrac{2x^3}{x^3}\approx 2.

Passo 6

Conclusão e ânimo: o cálculo é direto graças à dominância dos termos de maior grau. Fica a dica para a prova — ao ver uma razão de polinômios, compare os graus; isso normalmente dá a resposta muito rápido.

Resposta

2

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