Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{2}+2 x-1}{5 x^{2}-4 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2}+2x-1}{5x^{2}-4x+2}.
Informações dadas:
  • A função é uma razão de polinômios, numerador 3x^{2}+2x-1 e denominador 5x^{2}-4x+2.
  • O limite é quando x tende para +\infty.
  • Observação útil (apenas como informação): os maiores termos em grau são 3x^{2} no numerador e 5x^{2} no denominador.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): para limites de razões de polinômios quando x\to\pm\infty, uma técnica simples é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}). Isso mostra claramente o que sobra quando x fica muito grande, porque termos com 1/x ou 1/x^{2} tendem a zero. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{2}, temos
\frac{3x^{2}+2x-1}{5x^{2}-4x+2} = \frac{\dfrac{3x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{2x}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{5x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{4x}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{2}}} = \frac{3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}}{5-\dfrac{4}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora usamos fatos básicos sobre limites:
  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
  • Pelo mesmo motivo \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
  • Como soma e quociente (quando o limite do denominador é diferente de zero) preservam limites, podemos tomar limite termo a termo no numerador e no denominador.
Aplicando esses resultados:
\lim_{x\to+\infty}\left(3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=3+0-0=3,
\lim_{x\to+\infty}\left(5-\dfrac{4}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}\right)=5-0+0=5.

Passo 5

Como o limite do denominador é 5\neq0, o limite da razão é a razão dos limites:
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2}+2x-1}{5x^{2}-4x+2}=\frac{3}{5}.

Resposta

\frac{3}{5}

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