Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas e objetivo claro:
- A expressão é
. - Quer-se o valor do limite quando
cresce sem limite ( ).
Nada mais é dado; vamos transformar essa expressão para conseguir avaliar o limite.
Passo 2
Truque algébrico útil: racionalizar a expressão usando o conjugado. Isso evita a forma “infinito menos infinito” mostrando algo que converge.
Multiplico e divido pela soma conjugada :
Multiplico e divido pela soma conjugada
No numerador uso a identidade
com
e
. Então:
Passo 3
Simplificando o numerador:
Agora temos uma forma mais manejável para passar ao limite. Como estamos tomando
, podemos dividir numerador e denominador por
(note que
para
suficientemente grande, então essa divisão é válida):
Passo 4
Agora aplicamos propriedades dos limites. Sabemos que
. A função
é contínua em torno de
, então:
Portanto o limite da expressão transformada é
Passo 5
Interpretação final e observação útil para prova: a expressão dentro do limite simplificou para uma forma cujo valor no limite depende somente de
. Uma versão generalizada (útil para exercícios semelhantes) é: para constante
,
que se obtém pelo mesmo método (racionalizar e dividir por
) ou por expansão assintótica. Isso ajuda a ver padrões e resolver rápido na prova.