Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right).
Informações dadas e objetivo claro:
  • A expressão é \sqrt{x^{2}+x}-x.
  • Quer-se o valor do limite quando x cresce sem limite ( x\to+\infty).
    Nada mais é dado; vamos transformar essa expressão para conseguir avaliar o limite.

Passo 2

Truque algébrico útil: racionalizar a expressão usando o conjugado. Isso evita a forma “infinito menos infinito” mostrando algo que converge.
Multiplico e divido pela soma conjugada \sqrt{x^{2}+x}+x:
\sqrt{x^{2}+x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+x}+x\right)}{\sqrt{x^{2}+x}+x}.
No numerador uso a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} com a=\sqrt{x^{2}+x} e b=x. Então:
\sqrt{x^{2}+x}-x = \frac{(\sqrt{x^{2}+x})^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \frac{x^{2}+x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x}+x}.

Passo 3

Simplificando o numerador:
\sqrt{x^{2}+x}-x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}.
Agora temos uma forma mais manejável para passar ao limite. Como estamos tomando x\to+\infty, podemos dividir numerador e denominador por x (note que x>0 para x suficientemente grande, então essa divisão é válida):
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \frac{x/x}{\sqrt{x^{2}+x}/x + x/x} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}} + 1}.

Passo 4

Agora aplicamos propriedades dos limites. Sabemos que \lim_{x\to+\infty}\tfrac{1}{x}=0. A função t\mapsto\sqrt{1+t} é contínua em torno de t=0, então:
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}} = \sqrt{1+\lim_{x\to+\infty}\tfrac{1}{x}} = \sqrt{1+0}.
Portanto o limite da expressão transformada é
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1}.

Passo 5

Interpretação final e observação útil para prova: a expressão dentro do limite simplificou para uma forma cujo valor no limite depende somente de \sqrt{1+0}. Uma versão generalizada (útil para exercícios semelhantes) é: para constante a,
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+ax}-x\right)=\frac{a}{2},
que se obtém pelo mesmo método (racionalizar e dividir por x) ou por expansão assintótica. Isso ajuda a ver padrões e resolver rápido na prova.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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