Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4 x^{2}+5}{\left(x^{2}-2\right)\left(2 x^{2}-1\right)} e \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4 x^{2}+5}{\left(x^{2}-2\right)\left(2 x^{2}-1\right)}

Passo 1

O enunciado pede os limites
\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^{2}+5}{(x^{2}-2)(2x^{2}-1)} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to +\infty}\frac{4x^{2}+5}{(x^{2}-2)(2x^{2}-1)}.
O conteúdo aqui é limites de funções racionais no infinito. Para resolver, usamos o fato de que, quando x\to\pm\infty, os termos de maior grau dominam, ou dividimos numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Note que o numerador tem grau 2 e o denominador, grau 4 (produto de dois fatores quadráticos). Para ver isso de forma sistemática, dividimos numerador e denominador por x^{4}:
\frac{4x^{2}+5}{(x^{2}-2)(2x^{2}-1)} = \frac{\displaystyle \frac{4x^{2}+5}{x^{4}}}{\displaystyle \frac{(x^{2}-2)(2x^{2}-1)}{x^{4}}} = \frac{\displaystyle 4\,\frac{1}{x^{2}} + 5\,\frac{1}{x^{4}}}{\displaystyle\bigl(1 - 2\,\frac{1}{x^{2}}\bigr)\bigl(2 - \frac{1}{x^{2}}\bigr)}.

Passo 3

Ao fazermos x\to\pm\infty, temos \tfrac{1}{x^{2}}\to0 e \tfrac{1}{x^{4}}\to0. Assim
4\,\frac{1}{x^{2}} + 5\,\frac{1}{x^{4}}\;\longrightarrow\;0 \quad\text{e}\quad \bigl(1 - 2\,\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)\bigl(2 - \tfrac{1}{x^{2}}\bigr)\;\longrightarrow\;1\cdot 2 = 2.
Logo a razão inteira tende a
\frac{0}{2} = 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{4x^{2}+5}{(x^{2}-2)(2x^{2}-1)} = 0
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{4x^{2}+5}{(x^{2}-2)(2x^{2}-1)} = 0

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