Seja
um inteiro tal que
. Mostre que, para todo inteiro
, vale:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro
com
e qualquer inteiro
, a seguinte congruência vale:
O conteúdo principal aqui é teoria de congruências em
e, em particular, o Pequeno Teorema de Fermat (caso especial do Teorema de Euler para o módulo primo
).
Passo 2
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, para todo inteiro
tal que
temos
Passo 3
Elevando a congruência
à potência
, obtemos
e então
Passo 4
Substituindo
e
na expressão
, conclui-se:
Resposta
Concluímos que, para todo inteiro
e todo
com
, vale