Seja a>0 um inteiro tal que m d c(a, 5)=1. Mostre que, para todo inteiro n>0, vale:
a^{8 n}+3 a^{4 n}+1 \equiv 0(\bmod 5)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro a>0 com \gcd(a,5)=1 e qualquer inteiro n>0, a seguinte congruência vale:
a^{8n}+3\,a^{4n}+1\equiv 0\pmod{5}.
O conteúdo principal aqui é teoria de congruências em \mathbb{Z} e, em particular, o Pequeno Teorema de Fermat (caso especial do Teorema de Euler para o módulo primo 5).

Passo 2

Pelo Pequeno Teorema de Fermat, para todo inteiro a tal que \gcd(a,5)=1 temos
a^{5-1}=a^4\equiv 1\pmod{5}.

Passo 3

Elevando a congruência a^4\equiv1\pmod{5} à potência n, obtemos
a^{4n}\equiv 1^n=1\pmod{5},
e então
a^{8n}=\bigl(a^{4n}\bigr)^2\equiv 1^2=1\pmod{5}.

Passo 4

Substituindo a^{4n}\equiv1 e a^{8n}\equiv1 na expressão a^{8n}+3a^{4n}+1, conclui-se:
a^{8n}+3\,a^{4n}+1\equiv 1 + 3\cdot 1 + 1 =5\equiv 0\pmod{5}.

Resposta

Concluímos que, para todo inteiro n>0 e todo a>0 com \gcd(a,5)=1, vale
a^{8n}+3\,a^{4n}+1\equiv 0\pmod{5}.

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