Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,-1)} \cos (x+y) \operatorname{sen}(-x-y)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,-1)} \cos(x+y)\,\operatorname{sen}(-x-y).
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de função de duas variáveis usando identidades trigonométricas e continuidade de seno e cosseno.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\sin(-\theta)=-\sin(\theta).
Logo,
\cos(x+y)\,\operatorname{sen}(-x-y) =\cos(x+y)\bigl(-\sin(x+y)\bigr) =-\cos(x+y)\,\sin(x+y).

Passo 3

A expressão ficou
-\cos(x+y)\,\sin(x+y).
Como produto de funções contínuas, podemos avaliar o limite fazendo x+y\to1+(-1)=0.

Passo 4

Substituindo x+y=0 por continuidade, temos
-\cos(0)\,\sin(0)=-1\cdot0=0.

Resposta

0

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