Calcule os limites \lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)} e \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)}
Passo 1
O enunciado pede os limites da função
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}
quando x\to -2^{+} e quando x\to -2. O ponto x=-2 anula o fator (x+2) do denominador, gerando uma assíntota vertical. Para estudar o comportamento, vamos analisar sinal e módulo de numerador e denominador perto de x=-2.
Passo 2
Primeiro, observamos o numerador em x=-2:
x-1\big|_{x=-2} = -2-1 = -3.
Como \!-3\neq0, o numerador se mantém próximo de -3, ou seja, sempre negativo quando x está perto de -2.
Passo 3
O denominador é
x^{2}(x+2).
Aqui x^{2}>0 para x\neq0. Portanto o sinal do denominador perto de x=-2 só depende de (x+2), que tende a zero com sinal igual ao de x+2.
Passo 4
Para x\to -2^{+}, temos x+2>0 muito pequeno e x^{2}>0. Logo o denominador é positivo e tende a zero, enquanto o numerador é negativo (próximo de -3). Isso faz