Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)} e \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)}

Passo 1

O enunciado pede os limites da função
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}
quando x\to -2^{+} e quando x\to -2. O ponto x=-2 anula o fator (x+2) do denominador, gerando uma assíntota vertical. Para estudar o comportamento, vamos analisar sinal e módulo de numerador e denominador perto de x=-2.

Passo 2

Primeiro, observamos o numerador em x=-2:
x-1\big|_{x=-2} = -2-1 = -3.
Como \!-3\neq0, o numerador se mantém próximo de -3, ou seja, sempre negativo quando x está perto de -2.

Passo 3

O denominador é
x^{2}(x+2).
Aqui x^{2}>0 para x\neq0. Portanto o sinal do denominador perto de x=-2 só depende de (x+2), que tende a zero com sinal igual ao de x+2.

Passo 4

Para x\to -2^{+}, temos x+2>0 muito pequeno e x^{2}>0. Logo o denominador é positivo e tende a zero, enquanto o numerador é negativo (próximo de -3). Isso faz
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}\longrightarrow -\infty.

Passo 5

Para x\to -2^{-}, teríamos x+2<0 muito pequeno, de modo que o denominador é negativo e tende a zero, e o numerador continua negativo. Assim
f(x)\longrightarrow +\infty.
Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral em x=-2 não existe.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -2^{+}}\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to -2}\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}\text{ não existe}ã

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