1. Considere x+\frac{1}{x}=7, determine o valor de x^{2}+\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá que
x + \frac{1}{x} = 7
e pede para determinar
x^{2} + \frac{1}{x^{2}}.
O conteúdo envolvido é o uso da identidade de quadrado da soma, que diz
(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.

Passo 2

Aplicamos a identidade com a = x e b = \tfrac{1}{x}:
\biggl(x + \frac{1}{x}\biggr)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}.
Como sabemos que x + \tfrac{1}{x}=7, o quadrado desse valor é
7^{2} = 49.
Logo,
49 = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Isolando x^{2} + \frac{1}{x^{2}} na equação acima, subtraímos 2 de ambos os lados:
x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 49 - 2 = 47.

Resposta

47

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