Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \log _{2}\left(\frac{2 x^{3}+x^{2}-5 x}{16 x^{3}-5 x^{2}+7}\right)

Passo 1

O enunciado pede
L = \lim_{x\to+\infty} \log_{2}\!\biggl(\frac{2x^{3}+x^{2}-5x}{16x^{3}-5x^{2}+7}\biggr).
Aqui o conteúdo é limite de função racional e continuidade do logaritmo.

Passo 2

Primeiro vamos achar o limite da parte interna
R(x) = \frac{2x^{3}+x^{2}-5x}{16x^{3}-5x^{2}+7}.
Fatorando x^{3} em cima e embaixo, temos
R(x) = \frac{x^{3}\bigl(2 + \tfrac{1}{x} - \tfrac{5}{x^{2}}\bigr)}{x^{3}\bigl(16 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{7}{x^{3}}\bigr)} = \frac{2 + \tfrac{1}{x} - \tfrac{5}{x^{2}}}{16 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{7}{x^{3}}}.
Quando x\to+\infty, os termos \tfrac{1}{x},\tfrac{1}{x^{2}},\tfrac{1}{x^{3}} vão a zero, então
\lim_{x\to+\infty}R(x) = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}.

Passo 3

Como \log_{2}(t) é contínua para t>0, podemos trocar o limite e o logaritmo:
L = \log_{2}\!\bigl(\lim_{x\to+\infty}R(x)\bigr) = \log_{2}\!\bigl(\tfrac{1}{8}\bigr).

Passo 4

Basta lembrar que \tfrac{1}{8} = 2^{-3}. Logo
\log_{2}\!\bigl(\tfrac{1}{8}\bigr) = \log_{2}\bigl(2^{-3}\bigr) = -3.

Resposta

-3

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