Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{6 x^{4}-2 x^{2}+12}{3 x^{4}-x^{3}-4}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to -\infty}\frac{6x^{4}-2x^{2}+12}{3x^{4}-x^{3}-4},
que é um limite de função racional em infinito. Vamos usar o fato de que, para x\to\pm\infty, os termos de maior grau dominam o comportamento da função.

Passo 2

Identificamos que tanto o numerador quanto o denominador têm grau 4. Para evidenciar isso, fatoramos x^{4} em ambos:
\frac{6x^{4}-2x^{2}+12}{3x^{4}-x^{3}-4} =\frac{x^{4}\bigl(6-2x^{-2}+12x^{-4}\bigr)}{x^{4}\bigl(3 - x^{-1}-4x^{-4}\bigr)} =\frac{6-2x^{-2}+12x^{-4}}{3 - x^{-1}-4x^{-4}}.

Passo 3

À medida que x\to -\infty, temos x^{-1}\to0, x^{-2}\to0 e x^{-4}\to0. Logo a expressão acima tende a
\frac{6-0+0}{3-0-0}=\frac{6}{3}=2.

Resposta

2

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