Nos Problemas 1-14, use (4) para calcular todas as raízes. Em cada caso, determine a raiz
-ésima principal. Posicione as raízes
em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Passo 1
Estamos buscando as raízes cúbicas de $(-1+i)^{1/3}$, ou seja, todos os complexos \w\ tal que \w^3 = -1 + i\, e em particular queremos a raiz principal e a disposição dessas raízes numa circunferência.
Passo 2
Primeiro reduzimos \(-1+i)\ ao seu módulo e argumento. O módulo é \r = | -1 + i | = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\. Como o ponto \(-1,+1)\ está no segundo quadrante, o argumento é \theta = ,\pi - \arctan(1) = \pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4}\.
Passo 3
Para achar as raízes de ordem \n=3\ usamos a fórmula dos n-ésimos radicais: se \z = r e^{i\theta}\, então as raízes são
Passo 4
Aqui temos \r = \sqrt{2}\, logo \r^{1/3} = 2^{1/6}\, e \\theta = 3\pi/4\. Substituindo:
Passo 5
O caso \k=0\ dá a raiz principal:
Passo 6
Para k=1 e k=2 as outras raízes são:
Passo 7
As três raízes estão distribuídas igualmente (a cada \120^\circ\) numa circunferência de raio \2^{1/6}\ centrada na origem, partindo do ponto de ângulo \pi/4\.
Resposta
As raízes são:
w_0 = 2{1/6}e{i\pi/4} = 2^{-1/3}(1+i) \quad(principal),
w_1 = 2{1/6}e{i11\pi/12},
w_2 = 2{1/6}e{i19\pi/12}.
w_0 = 2{1/6}e{i\pi/4} = 2^{-1/3}(1+i) \quad(principal),
w_1 = 2{1/6}e{i11\pi/12},
w_2 = 2{1/6}e{i19\pi/12}.