Determine as equações vetorial e paramétricas da reta tangente à hélice com equações paramétricas
x=2 \cos t, y=\sin t \text { e } z=t
no ponto p=(0,1, \pi / 2)

Passo 1

O enunciado dá a hélice
\mathbf{r}(t) = \bigl(2\cos t,\;\sin t,\;t\bigr)
e pede a reta tangente a essa curva no ponto p = (0,1,\pi/2).
Conteúdo: derivada de curva paramétrica em \mathbb{R}^3 para obter o vetor tangente e, em seguida, escrever a equação da reta a partir de um ponto e de um vetor direção.

Passo 2

Precisamos achar t_0 tal que
2\cos t_0 = 0,\quad \sin t_0 = 1,\quad t_0 = \frac{\pi}{2}.
A condição \sin t_0=1 e \cos t_0=0 aponta para t_0 = \pi/2, que de fato satisfaz z=t_0=\pi/2. Logo, t_0 = \pi/2.

Passo 3

Calculamos a derivada da curva:
\mathbf{r}'(t) = \bigl(-2\sin t,\;\cos t,\;1\bigr).
Em t_0 = \pi/2 temos
\mathbf{r}'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \bigl(-2\sin(\tfrac{\pi}{2}),\;\cos(\tfrac{\pi}{2}),\;1\bigr) = (-2,\;0,\;1).
Esse é o vetor direção da reta tangente.

Passo 4

A equação vetorial da reta que passa por p=(0,1,\pi/2) com vetor direção \mathbf{v}=(-2,0,1) é
\mathbf{R}(s) = (0,1,\tfrac{\pi}{2}) + s\,(-2,0,1).

Passo 5

Separando em coordenadas, as equações paramétricas usando o parâmetro s ficam
x(s) = -2s,\quad y(s)=1,\quad z(s)=\tfrac{\pi}{2} + s.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{R}(s) = (0,1,\tfrac{\pi}{2}) + s\,(-2,0,1).
Equações paramétricas:
x(s) = -2s,\quad y(s)=1,\quad z(s)=\tfrac{\pi}{2} + s.

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