Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{t}-1}{\sqrt{t}-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t\to 1} \frac{\sqrt[3]{t}-1}{\sqrt{t}-1}.
Informações dadas: o numerador é \sqrt[3]{t}-1 = t^{1/3}-1 e o denominador é \sqrt{t}-1 = t^{1/2}-1. O ponto de interesse é t=1. Ainda não começamos a resolver, só identificamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Teste de substituição direta: se eu tento substituir t=1 diretamente, obtenho
\frac{1^{1/3}-1}{1^{1/2}-1}=\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição simples — precisamos manipular a expressão para remover a indeterminação.

Passo 3

Estratégia escolhida (explicada didaticamente): os expoentes fracionários são \tfrac{1}{3} e \tfrac{1}{2}. Para eliminar raízes e trabalhar com potências inteiras, uso uma substituição do tipo t = u^m, onde m é o mínimo múltiplo comum dos denominadores 3 e 2. O mínimo múltiplo comum é m=6. Assim escolho
t = u^{6}.
Quando t\to 1 temos u\to 1. Vou explicar por que isso ajuda: com t=u^6 as potências ficam inteiras:
t^{1/3} = (u^6)^{1/3} = u^2,\qquad t^{1/2} = (u^6)^{1/2} = u^3.

Passo 4

Reescrevendo o limite em função de u:
\lim_{t\to 1} \frac{t^{1/3}-1}{t^{1/2}-1} = \lim_{u\to 1} \frac{u^2-1}{u^3-1}.
Agora a expressão tem potências inteiras, o que facilita usar identidades algébricas.

Passo 5

Vamos usar a fatoração de diferença de potências. A fórmula geral é
a^n - b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k},
que, para nossos casos específicos, dá:
u^2-1 = (u-1)(u+1),
u^3-1 = (u-1)(u^2+u+1).
Substituindo na fração obtemos
\frac{u^2-1}{u^3-1} = \frac{(u-1)(u+1)}{(u-1)(u^2+u+1)}.
Como u\neq 1 na vizinhança (exceto no ponto limite) podemos cancelar o fator comum (u-1), ficando
\frac{u+1}{u^2+u+1}.

Passo 6

Agora a expressão não é mais indeterminada, posso substituir u=1 diretamente:
\lim_{u\to 1} \frac{u+1}{u^2+u+1} = \frac{1+1}{1^2+1+1} = \frac{2}{3}.
Portanto o limite é \tfrac{2}{3}.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional): usando a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em t,
\frac{d}{dt}(t^{1/3}-1)=\tfrac{1}{3}t^{-2/3},\qquad \frac{d}{dt}(t^{1/2}-1)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2},
logo pela regra de L’Hôpital
\lim_{t\to 1}\frac{t^{1/3}-1}{t^{1/2}-1} = \lim_{t\to 1}\frac{\tfrac{1}{3}t^{-2/3}}{\tfrac{1}{2}t^{-1/2}} = \frac{2}{3}\lim_{t\to 1} t^{-1/6} = \frac{2}{3},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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