Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. O ponto de interesse é
. Ainda não começamos a resolver, só identificamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Teste de substituição direta: se eu tento substituir
diretamente, obtenho
que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição simples — precisamos manipular a expressão para remover a indeterminação.
Passo 3
Estratégia escolhida (explicada didaticamente): os expoentes fracionários são
e
. Para eliminar raízes e trabalhar com potências inteiras, uso uma substituição do tipo
, onde
é o mínimo múltiplo comum dos denominadores
e
. O mínimo múltiplo comum é
. Assim escolho
Quando
temos
. Vou explicar por que isso ajuda: com
as potências ficam inteiras:
Passo 4
Reescrevendo o limite em função de
:
Agora a expressão tem potências inteiras, o que facilita usar identidades algébricas.
Passo 5
Vamos usar a fatoração de diferença de potências. A fórmula geral é
que, para nossos casos específicos, dá:
Substituindo na fração obtemos
Como
na vizinhança (exceto no ponto limite) podemos cancelar o fator comum
, ficando
Passo 6
Agora a expressão não é mais indeterminada, posso substituir
diretamente:
Portanto o limite é
.
Passo 7
Verificação alternativa (opcional): usando a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em
,
logo pela regra de L’Hôpital
confirmando o resultado anterior.