Calcule os limites.
5. \lim _{t \rightarrow \infty}\left\langle\frac{1+t{2}}{1-t{2}}, \operatorname{tg}^{-1} t \frac{1-e^{-2 t}}{t}\right\rangle

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \mathbf{L}(t)=\bigl\langle f(t),\,g(t)\bigr\rangle com
f(t)=\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},\qquad g(t)=\arctan(t)\,\frac{1-e^{-2t}}{t},
e pede \displaystyle\lim_{t\to\infty}\mathbf{L}(t). Para isso vamos usar:
  1. regras de limites de razões de polinômios;
  2. o fato de \arctan(t)\to\pi/2 quando t\to\infty;
  3. o limite de e^{-2t} quando t\to\infty.

Passo 2

Avaliaremos primeiro \displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t). Note que para t\neq0 podemos escrever
\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}} =\frac{t^{2}\bigl(1+\tfrac1{t^{2}}\bigr)}{t^{2}\bigl(-1+\tfrac1{t^{2}}\bigr)} =-\frac{1+\tfrac1{t^{2}}}{1-\tfrac1{t^{2}}}.
Ao fazer t\to\infty, os termos \tfrac1{t^{2}} tendem a zero, então
\lim_{t\to\infty}f(t) =-\frac{1+0}{1-0} =-1.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle\lim_{t\to\infty}g(t). Reescrevendo g(t) como produto,
g(t) =\arctan(t)\,\frac{1-e^{-2t}}{t} =\frac{\arctan(t)}{t}\,\bigl(1-e^{-2t}\bigr).
Quando t\to\infty temos \arctan(t)\to\frac{\pi}{2} (constante finita) e 1-e^{-2t}\to1, mas \tfrac{\arctan(t)}{t}\to0 pois um termo limitado dividido por t\to\infty vai a zero. Portanto
\lim_{t\to\infty}g(t) =0\cdot1 =0.

Passo 4

Juntando os resultados das duas componentes, concluímos
\lim_{t\to\infty}\mathbf{L}(t) =\bigl\langle\,\lim_{t\to\infty}f(t),\,\lim_{t\to\infty}g(t)\bigr\rangle =\langle -1,\,0\rangle.

Resposta

\langle -1,0\rangle

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