Calcule os limites.
5. \lim _{t \rightarrow \infty}\left\langle\frac{1+t{2}}{1-t{2}}, \operatorname{tg}^{-1} t \frac{1-e^{-2 t}}{t}\right\rangle
5. \lim _{t \rightarrow \infty}\left\langle\frac{1+t{2}}{1-t{2}}, \operatorname{tg}^{-1} t \frac{1-e^{-2 t}}{t}\right\rangle
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
com
e pede
. Para isso vamos usar:
- regras de limites de razões de polinômios;
- o fato de
quando ; - o limite de
quando .
Passo 2
Avaliaremos primeiro
. Note que para
podemos escrever
Ao fazer
, os termos
tendem a zero, então
Passo 3
Agora calculamos
. Reescrevendo
como produto,
Quando
temos
(constante finita) e
, mas
pois um termo limitado dividido por
vai a zero. Portanto
Passo 4
Juntando os resultados das duas componentes, concluímos