Exercício 17. Calcule os limites abaixo, justificando seus cálculos.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{4}-3 x+1}{6 x^{3}+4}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{4}-3x+1}{6x^{3}+4}.
Trata-se de limite de uma função racional no infinito. Para resolver, vamos comparar os graus dos polinômios e usar a técnica de dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador.

Passo 2

Observamos que o numerador é um polinômio de grau 4 e o denominador de grau 3, o que indica que o quociente tende a infinito em módulo. Para identificar o sinal e o comportamento, dividimos ambos por x^{3}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3} obtemos
\frac{2x^{4}-3x+1}{6x^{3}+4} =\frac{\tfrac{2x^{4}}{x^{3}}-\tfrac{3x}{x^{3}}+\tfrac{1}{x^{3}}}{\tfrac{6x^{3}}{x^{3}}+\tfrac{4}{x^{3}}} =\frac{2x-\tfrac{3}{x^{2}}+\tfrac{1}{x^{3}}}{6+\tfrac{4}{x^{3}}}.

Passo 4

Ao tomar x\to -\infty, os termos \tfrac{3}{x^{2}}, \tfrac{1}{x^{3}} e \tfrac{4}{x^{3}} tendem a zero. Assim, o quociente se comporta como
\frac{2x}{6} \;=\;\tfrac{1}{3}x.
Como x\to -\infty, temos \tfrac{1}{3}x\to -\infty.

Resposta

O limite é -\infty.

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