Exercício 17. Calcule os limites abaixo, justificando seus cálculos.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{4 x-1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{4x-1}.
Para resolver, vamos usar a ideia de fatorar x^2 dentro da raiz e analisar o sinal de x quando x\to -\infty.

Passo 2

Escrevendo
\sqrt{x^{2}+3} = \sqrt{x^{2}\Bigl(1+\frac{3}{x^{2}}\Bigr)} = |x|\;\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}.
Como x\to -\infty, temos x<0 e, portanto, |x|=-x. Logo,
\sqrt{x^{2}+3} = -\,x\;\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}.

Passo 3

Substituindo na fração:
\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{4x-1} = \frac{-\,x\;\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}}{4x-1}.
Agora dividimos numerador e denominador por x:
\frac{-\,x\;\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}}{4x-1} = \frac{-\,\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}}{4 - \frac{1}{x}}.
Quando x\to -\infty, temos \tfrac{3}{x^{2}}\to 0 e \tfrac{1}{x}\to 0. Assim,
\lim_{x\to -\infty} \frac{-\,\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}}{4 - \frac{1}{x}} = \frac{-\sqrt{1}}{4} = -\frac{1}{4}.

Resposta

\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{4x-1} = -\frac{1}{4}.

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