Seja f(x)=\frac{x^{2}-2 x-3}{|x-3|}.
  1. Calcule \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x).
  2. Calcule \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{x^{2}-2x-3}{\lvert x-3\rvert}
e pede os limites laterais em x=3. O conteúdo é análise de limites e uso de valor absoluto. Para resolver, vamos fatorar o numerador e estudar o sinal de x-3 à esquerda e à direita de 3.

Passo 2

Fatorando o polinômio do numerador:
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1).
Logo,
f(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{\lvert x-3\rvert}.

Passo 3

Para x<3 (limite pela esquerda), temos x-3<0 e \lvert x-3\rvert=-(x-3). Assim,
f(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{-(x-3)}=-(x+1).
Portanto,
\lim_{x\to3^-}f(x) = -(3+1) = -4.

Passo 4

Para x>3 (limite pela direita), x-3>0 e \lvert x-3\rvert=x-3. Então
f(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{x-3}=x+1.
Logo,
\lim_{x\to3^+}f(x) = 3+1 = 4.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to3^-}f(x) = -4 \displaystyle \lim_{x\to3^+}f(x) = 4

Exercícios relacionados