Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{\sin (t)}{t}, \ln \left(t^{3}-3 t^{2}-2 t+1\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial \displaystyle \biggl(\frac{\sin(t)}{t},\,\ln\bigl(t^{3}-3t^{2}-2t+1\bigr)\biggr)
quando t\to0. Vamos usar:
  1. A propriedade de que o limite de um vetor é o vetor dos limites de cada componente.
  2. O limite notório \lim_{t\to0}\frac{\sin(t)}{t}=1.
  3. A continuidade do logaritmo natural em pontos onde seu argumento é positivo.

Passo 2

Calcular o primeiro componente \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin(t)}{t}.
Este é um limite clássico que pode ser obtido por desenvolvimento em série ou geometria:
\lim_{t\to0}\frac{\sin(t)}{t} \;=\; 1.

Passo 3

Calcular o segundo componente \displaystyle \lim_{t\to0}\ln\bigl(t^{3}-3t^{2}-2t+1\bigr).
Primeiro vemos que o polinômio no argumento do logaritmo tende a
\lim_{t\to0}\bigl(t^{3}-3t^{2}-2t+1\bigr)=1.
Como 1>0, estamos no domínio de \ln, que é contínua. Logo
\lim_{t\to0}\ln\bigl(t^{3}-3t^{2}-2t+1\bigr) =\ln\Bigl(\lim_{t\to0}(t^{3}-3t^{2}-2t+1)\Bigr) =\ln(1)=0.

Passo 4

Pelo passo 1, o limite do vetor é o vetor formado pelos resultados obtidos nos passos anteriores.

Resposta

(1,0)

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