Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 1}\left(\frac{t^{2}-2 t+1}{t-2}, \frac{t-1}{\sqrt{1-t}}\right);

Passo 1

O enunciado pede os dois limites \displaystyle\lim_{t\to1}\frac{t^{2}-2t+1}{t-2} e \displaystyle\lim_{t\to1}\frac{t-1}{\sqrt{1-t}}.
O conteúdo envolve fatoração de polinômio para o primeiro limite e limites unilaterais com raiz quadrada para o segundo.

Passo 2

Para \displaystyle\lim_{t\to1}\frac{t^{2}-2t+1}{t-2}
fatoramos o numerador como
t^{2}-2t+1=(t-1)^{2}.
Como ao aproximar t\to1 temos (t-1)^{2}\to0 e t-2\to-1, pela propriedade de limites de quociente de funções contínuas,
\lim_{t\to1}\frac{(t-1)^{2}}{t-2} =\frac{0}{-1} =0.

Passo 3

Para \displaystyle\lim_{t\to1}\frac{t-1}{\sqrt{1-t}}
observamos que \sqrt{1-t} exige 1-t\ge0, isto é, t\le1. Logo só faz sentido t\to1^-. Escrevemos
\frac{t-1}{\sqrt{1-t}} =\frac{-(1-t)}{\sqrt{1-t}} =-\sqrt{1-t}.
Como t\to1^- implica 1-t\to0^+ e \sqrt{1-t}\to0, segue
\lim_{t\to1^-}\bigl(-\sqrt{1-t}\bigr)=0.

Resposta

(0,0)

Exercícios relacionados