Calcule os limites
\lim _{t \rightarrow 2}\left(\frac{t^{3}-8}{t-2}, \frac{\cos \frac{\pi}{t}}{t-2}, 2 t\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t\to 2 do vetor
\bigl(\frac{t^3-8}{t-2},\;\frac{\cos(\pi/t)}{t-2},\;2t\bigr).
O conteúdo envolvido é cálculo de limites: fatoração de diferença de cubos, regra de L’Hôpital para casos 0/0 e uso da continuidade de funções polinomiais.

Passo 2

Para a primeira componente
a(t)=\frac{t^3-8}{t-2}
temos indeterminação 0/0. Fatoramos
t^3-8=(t-2)(t^2+2t+4),
de modo que, para t\neq2,
a(t)=t^2+2t+4.
Logo
\lim_{t\to2}a(t)=2^2+2\cdot2+4=12.

Passo 3

Para a segunda componente
b(t)=\frac{\cos(\pi/t)}{t-2}
temos novamente 0/0, pois \cos(\pi/2)=0. Aplicamos a regra de L’Hôpital:
b'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cos\bigl(\pi/t\bigr) =\frac{\pi}{t^2}\sin\bigl(\pi/t\bigr).
Portanto
\lim_{t\to2}b(t) =\lim_{t\to2}b'(t) =\frac{\pi}{2^2}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\frac{\pi}{4}.

Passo 4

A terceira componente é
c(t)=2t,
função polinomial e, portanto, contínua. Assim
\lim_{t\to2}c(t)=2\cdot2=4.

Passo 5

Reunindo os resultados, o limite do vetor dado é
\bigl(12,\;\tfrac{\pi}{4},\;4\bigr).

Resposta

(12,\tfrac{\pi}{4},4)

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