Mostrar que f(x, y)=x^{n} f\left(1, \frac{y}{x}\right), se f é uma função homogênea de grau n .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é homogênea de grau n, isto é,
f(t x, t y) = t^{n} f(x,y) \quad\text{para todo real }t,
então vale
f(x,y) = x^{n}\,f\!\bigl(1,\tfrac{y}{x}\bigr).
O conteúdo aqui é a definição de função homogênea e uma escolha adequada de t.

Passo 2

Para aproveitar a homogeneidade, tomamos t = \tfrac{1}{x}, supondo x\neq 0. Então
f\!\bigl(t x,\,t y\bigr) = f\!\Bigl(1,\frac{y}{x}\Bigr)
e, pela definição de homogênea,
f\!\Bigl(1,\frac{y}{x}\Bigr) = t^{n}\,f(x,y) = \bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)^{n} f(x,y).

Passo 3

Isolando f(x,y) na última igualdade, multiplicamos ambos os lados por x^{n}:
x^{n}\,f\!\Bigl(1,\frac{y}{x}\Bigr) = f(x,y).
Isso é exatamente a fórmula desejada.

Resposta

f(x,y) = x^{n}\,f\!\Bigl(1,\frac{y}{x}\Bigr).

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