Verifique se cada função f abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine f^{-1}. Caso f não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que f se torne bijetora e determine a inversa de f nesta situação.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto|x|

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad x\mapsto |x|
e pede para verificar se é bijetora. Se não for, devemos restringir domínio e/ou contradomínio para que se torne bijetora e então encontrar f^{-1}. Para isso vamos usar as definições de injetividade (valores distintos de x dão imagens distintas) e sobrejetividade (toda y no contradomínio é imagem de algum x).

Passo 2

Testando injetividade: suponha que
f(a)=f(b).
Isso dá |a|=|b|, o que implica a=b ou a=-b. Como há pares (a,b) distintos (por exemplo a=1, b=-1) com |a|=|b|, concluímos que f não é injetora em \mathbb{R}.

Passo 3

Testando sobrejetividade: a imagem de f é
f(\mathbb{R})=\{\,|x|\mid x\in\mathbb{R}\}=[0,\infty).
Como o contradomínio dado é \mathbb{R}, mas a imagem é apenas [0,\infty), não existe x tal que |x|<0. Logo f não é sobrejetora em \mathbb{R}.

Passo 4

Para tornar f bijetora, podemos restringir domínio e contradomínio a
\tilde f\colon [0,\infty)\to [0,\infty),\quad x\mapsto |x|=x.
Nessa restrição:
  • Injetividade: se x_1,x_2\ge0 e \tilde f(x_1)=\tilde f(x_2), então x_1=x_2.
  • Sobrejetividade: dado qualquer y\in[0,\infty), basta escolher x=y\ge0 para ter \tilde f(x)=y.
Portanto \tilde f é bijetora.

Passo 5

A inversa \tilde f^{-1}\colon [0,\infty)\to[0,\infty) satisfaz
\tilde f^{-1}(y)=y.

Resposta

A função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=|x|, não é bijetora.
Restrigindo-se a
\tilde f\colon [0,\infty)\to[0,\infty),\quad \tilde f(x)=x,
torna-se bijetora, e sua inversa é
\tilde f^{-1}(y)=y.

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