Verifique se cada função
abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine
. Caso
não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que
se torne bijetora e determine a inversa de
nesta situação.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se é bijetora. Se não for, devemos restringir domínio e/ou contradomínio para que se torne bijetora e então encontrar
. Para isso vamos usar as definições de injetividade (valores distintos de
dão imagens distintas) e sobrejetividade (toda
no contradomínio é imagem de algum
).
Passo 2
Testando injetividade: suponha que
Isso dá
, o que implica
ou
. Como há pares
distintos (por exemplo
,
) com
, concluímos que
não é injetora em
.
Passo 3
Testando sobrejetividade: a imagem de
é
Como o contradomínio dado é
, mas a imagem é apenas
, não existe
tal que
. Logo
não é sobrejetora em
.
Passo 4
Para tornar
bijetora, podemos restringir domínio e contradomínio a
Nessa restrição:
- Injetividade: se
e , então . - Sobrejetividade: dado qualquer
, basta escolher para ter .
Portanto
é bijetora.
Passo 5
A inversa
satisfaz
Resposta
A função
,
, não é bijetora.
Restrigindo-se a
Restrigindo-se a
torna-se bijetora, e sua inversa é