Calcule os limites.
\lim _{t \rightarrow 0}\left(e^{-3 t} \mathbf{i}+\frac{t{2}}{\operatorname{sen}{2} t} \mathbf{j}+\cos 2 t \mathbf{k}\right)
\lim _{t \rightarrow 0}\left(e^{-3 t} \mathbf{i}+\frac{t{2}}{\operatorname{sen}{2} t} \mathbf{j}+\cos 2 t \mathbf{k}\right)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite da função vetorial
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites, especificamente aplicando propriedades de limites de funções exponenciais, trigonométricas e racionais. Precisamos saber como calcular o limite de cada componente da função vetorial individualmente quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da componente
quando
.
Sabemos que a função exponencial
é contínua, o que significa que podemos simplesmente substituir
:
Então, a primeira componente resulta em
.
Passo 3
Agora, vamos para a componente
.
Aqui, temos uma expressão que pode parecer complicada, mas podemos simplificar usando uma propriedade dos limites trigonométricos. Sabemos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, a segunda componente também resulta em
.
Passo 4
Por último, vamos calcular o limite da componente
quando
.
A função cosseno é contínua, então podemos substituir diretamente
:
Portanto, a terceira componente é
.
Resposta
O limite da função vetorial é
.