Calcule os limites.
\lim _{t \rightarrow 0}\left(e^{-3 t} \mathbf{i}+\frac{t{2}}{\operatorname{sen}{2} t} \mathbf{j}+\cos 2 t \mathbf{k}\right)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da função vetorial lim t 0(e^-3 t i+t^2sin^2 t j+cos 2 t k). A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites, especificamente aplicando propriedades de limites de funções exponenciais, trigonométricas e racionais. Precisamos saber como calcular o limite de cada componente da função vetorial individualmente quando t se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da componente e^-3t i quando t 0.
Sabemos que a função exponencial e^x é contínua, o que significa que podemos simplesmente substituir t = 0:
limt to 0 e^-3t = e^0 = 1
Então, a primeira componente resulta em 1 i.

Passo 3

Agora, vamos para a componente t^2sin^2 t j.
Aqui, temos uma expressão que pode parecer complicada, mas podemos simplificar usando uma propriedade dos limites trigonométricos. Sabemos que:
limt to 0 sin tt = 1
Elevando ambos os lados ao quadrado:
limt to 0 sin^2 tt^2 = 1 Rightarrow limt to 0 t^2sin^2 t = 1
Então, a segunda componente também resulta em 1 j.

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da componente cos 2t k quando t 0.
A função cosseno é contínua, então podemos substituir diretamente t = 0:
limt to 0 cos 2t = cos 0 = 1
Portanto, a terceira componente é 1 k.

Resposta

O limite da função vetorial é 1 i + 1 j + 1 k.

Exercícios relacionados