Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
\mathbf{r}(t)=\langle\operatorname{sen} t, t\rangle

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva parametrizada por
r(t)=lang<= sen t,,trang<=
seguindo a direção em que o parâmetro t cresce. O conteúdo envolvido é o de curvas paramétricas em R^2: vamos usar amostras de valores de t para obter pontos-chave, unir esses pontos suavemente e indicar a orientação com setas.

Passo 2

Identificamos as componentes
x(t)=sen t, y(t)=t,
para tinR. Como sen t varia entre -1 e 1 e y=t aumenta sem limite, a curva será uma “onda” de seno esticada na direção vertical.

Passo 3

Escolhemos valores típicos de t para marcar pontos:
t&=-pi,(sen(-pi),- pi)= (0,-pi), t&=-tfracpi2,;(sen(-tfracpi2),-tfracpi2)= (-1,-tfracpi2), t&=0,;(0,0), t&=tfracpi2,;(1,tfracpi2), t&=pi,;(0,pi), t&=tfrac3pi2,;(-1,tfrac3pi2),;dots
Esses pontos nos mostram cristas e vales de cada meio-período do seno, subindo ao longo de y.

Passo 4

Agora unimos suavemente esses pontos numa linha ondulada que oscila entre e enquanto sobe em . O resultado é um “cabo enrolado” verticalmente. Em ASCII bem simplificado, seria algo como:
onde as bolinhas marcam pontos de

Passo 5

Para indicar a direção, colocamos setas ao longo da curva apontando para cima, pois y(t)=t cresce com t. Assim, conforme seguimos a curva da bolinha em (0,-pi) para (-1,-tfracpi2), depois para (0,0), (1,tfracpi2), e assim por diante, nosso movimento é sempre para valores maiores de t, ou seja, “subindo” no eixo y.

Resposta

O gráfico é uma curva oscilante entre x=-1 e x=1 que sobe indefinidamente no eixo y, com setas indicando a orientação para cima, já que t aumenta.

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