Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{3}, t^{2}\right\rangle

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
r(t)=lang<= t^3,,t^2rang<=.
O conteúdo aqui é curvas paramétricas: precisamos eliminar o parâmetro para obter uma relação entre x e y e depois determinar a direção de crescimento de t.

Passo 2

Eliminando t, temos
x = t^3, y = t^2, y>=0
Como t=pmraizy,
x = (pmraizy)^3 = pm y^3/2
Isolando y em função de x, obtém-se
y = x^2/3,
definida para todo xinR com y>=0.

Passo 3

O gráfico de y = x^2/3 é uma curva com cusp em (0,0), simétrica em relação ao eixo y. Para x<0 temos o ramo esquerdo do cusp; para x>0, o ramo direito.

Passo 4

Para saber a orientação, calculamos
r'(t)=lang<= 3t^2,,2trang<=
  • Se t<0, então 3t^2>0 e 2t<0: o ponto move-se para a direita ( x cresce) e para baixo ( y decresce), ou seja, percorre o ramo esquerdo indo de x=-infty até o cusp em (0,0).
  • Se t>0, então 3t^2>0 e 2t>0: o ponto move-se para a direita e para cima, partindo do cusp e seguindo pelo ramo direito até x=+infty.

Resposta

O esboço é o gráfico de y=x^2/3 (cusp em (0,0)), com setas no ramo esquerdo apontando para o cusp e, a partir do cusp, setas no ramo direito apontando para longe dele.

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