Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{3}, t^{2}\right\rangle
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{3}, t^{2}\right\rangle
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
.
O conteúdo aqui é curvas paramétricas: precisamos eliminar o parâmetro para obter uma relação entre e
e depois determinar a direção de crescimento de
.
O conteúdo aqui é curvas paramétricas: precisamos eliminar o parâmetro para obter uma relação entre
Passo 2
Eliminando
, temos
Como
,
Isolando
em função de
, obtém-se
definida para todo
com
.
Passo 3
O gráfico de
é uma curva com cusp em
, simétrica em relação ao eixo
. Para
temos o ramo esquerdo do cusp; para
, o ramo direito.
Passo 4
Para saber a orientação, calculamos
- Se
, então e : o ponto move-se para a direita ( cresce) e para baixo ( decresce), ou seja, percorre o ramo esquerdo indo de até o cusp em . - Se
, então e : o ponto move-se para a direita e para cima, partindo do cusp e seguindo pelo ramo direito até .
Resposta
O esboço é o gráfico de
(cusp em
), com setas no ramo esquerdo apontando para o cusp e, a partir do cusp, setas no ramo direito apontando para longe dele.