Exercício 5. Determine
e
de duas maneiras: Usando a Regra da cadeia e substituindo as expressões de
e
de modo que se escreva
como uma função de
e
. As suas respostas coincidem?
em que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
de duas maneiras:
- Usando a regra da cadeia em funções de várias variáveis.
- Substituindo
e por expressões em e e derivando diretamente.
O conteúdo envolvido é: derivadas parciais, regra da cadeia e diferenciação de produtos e compostas.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia, escrevemos
logo
Calculemos cada termo:
e de
,
vem
Portanto
Passo 3
Ainda pela regra da cadeia, para
:
De
,
obtemos
Logo
Passo 4
Agora escrevemos
explicitamente em função de
:
Passo 5
Derivando diretamente em relação a
, tratando
como constante:
Usando produto e composta:
portanto
Passo 6
Derivando diretamente em relação a
, tratando
como constante:
Novamente produto e composta:
logo
Passo 7
Comparando com os resultados da regra da cadeia, basta substituir
e
nas fórmulas de
Resposta
e as duas maneiras dão o mesmo resultado.