Exercício 5. Determine fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial s de duas maneiras: Usando a Regra da cadeia e substituindo as expressões de x e y de modo que se escreva z como uma função de s e t. As suas respostas coincidem?
z=x^2 sen(y) em que x=s^2 t e y=s t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial zpartial s e partial zpartial t de duas maneiras:
  1. Usando a regra da cadeia em funções de várias variáveis.
  2. Substituindo x e y por expressões em s e t e derivando diretamente.
    O conteúdo envolvido é: derivadas parciais, regra da cadeia e diferenciação de produtos e compostas.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, escrevemos
z = x^2 sin(y),
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partial zpartial s = partial zpartial xpartial xpartial s + partial zpartial ypartial ypartial s
Calculemos cada termo:
partial zpartial x = 2x,sin(y), partial zpartial y = x^2cos(y),
e de x = s^2 t, y = st vem
partial xpartial s = 2s,t, partial ypartial s = t
Portanto
partial zpartial s = l(2xsin(y)r)(2s,t) + l(x^2cos(y)r)(t)

Passo 3

Ainda pela regra da cadeia, para partial zpartial t:
partial zpartial t = partial zpartial xpartial xpartial t + partial zpartial ypartial ypartial t
De x = s^2 t, y = st obtemos
partial xpartial t = s^2, partial ypartial t = s
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partial zpartial t = l(2xsin(y)r)(s^2) + l(x^2cos(y)r)(s)

Passo 4

Agora escrevemos z explicitamente em função de s,t:
z(s,t) = l(s^2 tr)^2 ,sinl(str) = s^4 t^2 ,sin(st)

Passo 5

Derivando diretamente em relação a s, tratando t como constante:
partial zpartial s = partialpartial sl(s^4 t^2 sin(st)r) = t^2ddsl(s^4sin(st)r)
Usando produto e composta:
dds(s^4sin(st)) = 4s^3sin(st) + s^4cos(st),t,
portanto
partial zpartial s = t^2l(4s^3sin(st) + s^4 tcos(st)r) = 4s^3 t^2sin(st) + s^4 t^3cos(st)

Passo 6

Derivando diretamente em relação a t, tratando s como constante:
partial zpartial t = partialpartial tl(s^4 t^2 sin(st)r) = s^4ddtl(t^2sin(st)r)
Novamente produto e composta:
ddt(t^2sin(st)) = 2tsin(st) + t^2cos(st),s,
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partial zpartial t = s^4l(2tsin(st) + s,t^2cos(st)r) = 2s^4 tsin(st) + s^5 t^2cos(st)

Passo 7

Comparando com os resultados da regra da cadeia, basta substituir x = s^2 t e y = st nas fórmulas de

Resposta

boxedpartial zpartial s = 4s^3 t^2sin(st) + s^4 t^3cos(st), boxedpartial zpartial t = 2s^4 tsin(st) + s^5 t^2cos(st),
e as duas maneiras dão o mesmo resultado.

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