Determine a derivada da função dada:
f(x)=\tan x-\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\tan x - \frac{\cos x}{\sin x}.
O conteúdo é Cálculo (derivadas de funções trigonométricas). Vamos precisar das derivadas de \tan x e de \frac{\cos x}{\sin x}, que podemos tratar como derivada de \cot x ou usar a regra do quociente.

Passo 2

Observe que
\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x,
logo podemos reescrever
f(x)=\tan x - \cot x.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada termo a termo, lembrando que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^2 x \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr)=-\csc^2 x.
Pela linearidade da derivada,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr) -\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr) =\operatorname{sec}^2 x - \bigl(-\csc^2 x\bigr) =\operatorname{sec}^2 x + \csc^2 x.

Passo 4

Se você quiser ver em termos de \sin e \cos, note que
\operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}, \quad \csc^2 x=\frac{1}{\sin^2 x},
logo
f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}^2 x + \csc^2 x.

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