Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Trata-se de um exercício de limites e continuidade de funções. Vamos usar a propriedade de continuidade das funções exponencial e seno, além das regras de soma e potenciação de limites.
Passo 2
Como as funções envolvidas são contínuas (a exponencial, o seno, a soma e a potência), podemos trazer o limite para dentro da potência e da soma. Ou seja, temos
$$
\lim_{x\to -1}\bigl[2^{-3x}+\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\bigr]^2
\Bigl(\lim_{x\to -1}\bigl[2^{-3x}+\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\bigr]\Bigr)^2
$$
Passo 3
Agora aplicamos a propriedade de soma de limites, que permite separar o limite de uma soma na soma dos limites:
$$
\lim_{x\to -1}\bigl[2^{-3x}+\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\bigr]
\lim_{x\to -1}2^{-3x}
+
\lim_{x\to -1}\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)
+
\lim_{x\to -1}\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)
$$
Passo 4
Avaliando cada limite individualmente:
– Para a exponencial:
– Para o seno:
– Para a exponencial:
– Para o seno:
Passo 5
Somando os resultados e elevando ao quadrado:
Resposta
49