Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas
das funções:
, para
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de
em relação ao tempo
. A função dada é
, e sabemos que
e
também dependem de
, com
e
. Então, vamos precisar conhecer a Regra da Cadeia e como derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções que são compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Então, para achar
, vamos derivar
em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Essas derivadas nos dizem como
muda quando apenas
ou
mudam.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Isso nos mostra como
e
mudam com o tempo.
Passo 5
Usando a Regra da Cadeia, a derivada total de
em relação a
é:
Vamos substituir as derivadas que calculamos:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação:
Passo 7
Por fim, podemos simplificar a expressão, mas como o exercício provavelmente pede a derivada geral, vamos deixar assim:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Onde
e
.