Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas d zd t das funções:
z=x^2 y+x y^2, para x=2+t^2 e y=1-t^3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de z em relação ao tempo t . A função dada é z = x^2 y + x y^2 , e sabemos que x e y também dependem de t , com x = 2 + t^2 e y = 1 - t^3 . Então, vamos precisar conhecer a Regra da Cadeia e como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções que são compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. No nosso caso, z depende de x e y , que por sua vez dependem de t . Então, para achar dzdt , vamos derivar z em relação a x e y , e depois multiplicar pelas derivadas de x e y em relação a t .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y :
partial zpartial x = 2x y + y^2
partial zpartial y = x^2 + 2x y
Essas derivadas nos dizem como z muda quando apenas x ou y mudam.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t :
dxdt = ddt(2 + t^2) = 2t
dydt = ddt(1 - t^3) = -3t^2
Isso nos mostra como x e y mudam com o tempo.

Passo 5

Usando a Regra da Cadeia, a derivada total de z em relação a t é:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Vamos substituir as derivadas que calculamos:
dzdt = (2x y + y^2) cdot (2t) + (x^2 + 2x y) cdot (-3t^2)

Passo 6

Agora, substituímos x = 2 + t^2 e y = 1 - t^3 na equação:
dzdt = [2(2 + t^2)(1 - t^3) + (1 - t^3)^2] cdot 2t + [(2 + t^2)^2 + 2(2 + t^2)(1 - t^3)] cdot (-3t^2)

Passo 7

Por fim, podemos simplificar a expressão, mas como o exercício provavelmente pede a derivada geral, vamos deixar assim:
dzdt = (2x y + y^2) cdot 2t + (x^2 + 2x y) cdot (-3t^2)

Resposta

A derivada de z em relação a t é:
dzdt = (2x y + y^2) cdot 2t + (x^2 + 2x y) cdot (-3t^2)
Onde x = 2 + t^2 e y = 1 - t^3 .

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