Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas d zd t das funções:
z=x ln (x+2 y), para x=sen(t) e y=cos (t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a derivada dzdt da função z = x ln(x + 2y), onde x = sin(t) e y = cos(t). Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos z em termos de x e y, e x e y em termos de t. Isso significa que z depende de t através de x e y.

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Ou seja, a derivada total de z em relação a t é a soma das derivadas parciais de z em relação a x e y, multiplicadas pelas derivadas de x e y em relação a t.

Passo 4

Vamos calcular partial zpartial x e partial zpartial y:
Para z = x ln(x + 2y):
partial zpartial x = ln(x + 2y) + x cdot 1x + 2y cdot 1 = ln(x + 2y) + xx + 2y
partial zpartial y = x cdot 1x + 2y cdot 2 = 2xx + 2y

Passo 5

Agora, vamos calcular dxdt e dydt:
Sabemos que x = sin(t) e y = cos(t), então:
dxdt = cos(t)
dydt = -sin(t)

Passo 6

Substituindo tudo na Regra da Cadeia:
dzdt = ( ln(x + 2y) + xx + 2y ) cdot cos(t) + ( 2xx + 2y ) cdot (-sin(t))

Passo 7

Agora, vamos substituir x = sin(t) e y = cos(t) na expressão:
dzdt = ( ln(sin(t) + 2cos(t)) + sin(t)sin(t) + 2cos(t) ) cdot cos(t) - ( 2sin(t)sin(t) + 2cos(t) ) cdot sin(t)

Resposta

Portanto, a derivada dzdt é:
dzdt = ( ln(sin(t) + 2cos(t)) + sin(t)sin(t) + 2cos(t) ) cos(t) - 2sin^2(t)sin(t) + 2cos(t)

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