Seja C a curva y=2 x-x^5, 0 <= x <= 1. O valor da integral integralC(e^y-x e^x+e^2 x) d x+(x e^y-e^2 y) d y é:
Escolha uma opção:
e^2
c
e
(6)
e-1

2-e
o
e^2-1

Passo 1

Temos o enunciado: calcular a integral de linha integralC (e^y - x e^x + e^2x),dx + (x e^y - e^2y),dy ao longo da curva Ccolon y=2x - x^5, 0<= x<=1. O conteúdo é formas diferenciais e integral de linha, e vamos usar o critério de exatidão para resolver.

Passo 2

Precisamos verificar se o 1-forma omega = P,dx + Q,dy, com P=e^y - x e^x + e^2x e Q=x e^y - e^2y, é exata. Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y = e^y, partial Qpartial x = e^y
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, a forma é exata em um domínio convexo.

Passo 3

Buscamos uma potencial F(x,y) tal que partial F/partial x = P e partial F/partial y = Q. Integrando P em relação a x, obtemos
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F(x,y) = \int (e^y - x e^x + e^{2x}),dx + h(y)
= x e^y - x e^x + e^x + \tfrac12 e^{2x} + h(y)
“””],
diferenciando em y e igualando a Q têm-se
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\frac{d}{dy}[x e^y + h(y)] = x e^y + h’(y) = x e^y - e^{2y}
“””],
logo h'(y) = -e^2y e
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h(y) = -\tfrac12 e^{2y}
“””].
Assim a potencial final é
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F(x,y) = x e^y - x e^x + e^x + \tfrac12 e^{2x} - \tfrac12 e^{2y}.
“””].

Passo 4

A integral vale F(1,1) - F(0,0). Calculando:
F(1,1) = e - e + e + tfrac12 e^2 - tfrac12 e^2 = e,
F(0,0) = 0 - 0 + 1 + tfrac12 - tfrac12 = 1
Logo o valor da integral é e - 1.

Resposta

e-1

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