Seja
a curva
. O valor da integral
é:
Escolha uma opção:
e
(6)
o
Escolha uma opção:
e
(6)
o
Passo 1
Temos o enunciado: calcular a integral de linha
ao longo da curva
. O conteúdo é formas diferenciais e integral de linha, e vamos usar o critério de exatidão para resolver.
Passo 2
Precisamos verificar se o 1-forma
, com
e
, é exata. Calculamos as derivadas parciais:
Como , a forma é exata em um domínio convexo.
Como
Passo 3
Buscamos uma potencial
tal que
e
. Integrando
em relação a
, obtemos
[""“latex
F(x,y) = \int (e^y - x e^x + e^{2x}),dx + h(y)
= x e^y - x e^x + e^x + \tfrac12 e^{2x} + h(y)
“””],
diferenciando em e igualando a
têm-se
[""“latex
\frac{d}{dy}[x e^y + h(y)] = x e^y + h’(y) = x e^y - e^{2y}
“””],
logo e
[""“latex
h(y) = -\tfrac12 e^{2y}
“””].
Assim a potencial final é
[""“latex
F(x,y) = x e^y - x e^x + e^x + \tfrac12 e^{2x} - \tfrac12 e^{2y}.
“””].
[""“latex
F(x,y) = \int (e^y - x e^x + e^{2x}),dx + h(y)
= x e^y - x e^x + e^x + \tfrac12 e^{2x} + h(y)
“””],
diferenciando em
[""“latex
\frac{d}{dy}[x e^y + h(y)] = x e^y + h’(y) = x e^y - e^{2y}
“””],
logo
[""“latex
h(y) = -\tfrac12 e^{2y}
“””].
Assim a potencial final é
[""“latex
F(x,y) = x e^y - x e^x + e^x + \tfrac12 e^{2x} - \tfrac12 e^{2y}.
“””].
Passo 4
A integral vale
. Calculando:
Logo o valor da integral é .
Logo o valor da integral é
Resposta
e-1