A função x=c1 cos t+c2 sent é uma família de soluções de dois parâmetros da equação diferencial de segunda ordem x^prime prime+x^prime=0. Encontre a solução do PVI desta equação diferencial para cada uma das seguintes condições
x(0)=-1, x^prime(0)=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI da EDO de segunda ordem x'' + x' = 0, usando as condições iniciais x(0) = -1 e x'(0) = 8. O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes; vamos precisar montar a equação característica, achar a solução geral e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Montamos a equação característica substituindo x(t)=e^rt na EDO x''+x'=0, o que dá r^2 + r = 0. Fatorando, temos r(r+1)=0, logo as raízes são r1 = 0 e r2 = -1.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é combinação linear:
x(t) = C1 e^0,t + C2 e^-1,t = C1 + C2 e^-t

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos também de x'(t). Derivando:
x'(t) = 0 cdot C1 + C2 l(-e^-tr) = -C2 e^-t

Passo 5

Agora impomos x(0) = -1:
x(0) = C1 + C2 e^0 = C1 + C2 = -1
E impomos x'(0) = 8:
x'(0) = -C2 e^0 = -C2 = 8 implies C2 = -8

Passo 6

Substituindo C2 = -8 em C1 + C2 = -1 dá:
C1 - 8 = -1 implies C1 = 7
Logo a solução particular do PVI é obtida trocando as constantes:

Passo 7

A solução final do problema, que satisfaz as duas condições iniciais, é:
x(t) = 7 - 8 e^-t

Resposta

x(t) = 7 - 8 e^{-t}

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