Calcule os limites:
lim x 0 cos (2 x)-12 x 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular . Esse problema está relacionado com o conteúdo de limites na matemática, especificamente lidando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de determinado ponto e usar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando cos(0) - 10 = 1 - 10 = 00 se aproxima de 0. Se substituirmos diretamente na expressão, teremos:
Esse é um caso indeterminado, o que significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo. Precisamos de outra estratégia para resolver.

Passo 3

Quando temos uma forma indeterminada , uma técnica útil é a regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos aplicar a regra de L’Hôpital à nossa expressão. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador ddx [cos(2x) - 1] = -2sin(2x) :
ddx [2x] = 2
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas no limite:
limx 0 -2sin(2x)2 = limx 0 -sin(2x)
Podemos simplificar ainda mais cancelando o 2 no numerador e denominador.

Passo 6

Sabemos que limx 0 -sin(2x) = -sin(0) = 0 , e a função seno é contínua. Portanto:

Resposta

O limite é igual a .

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