Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular
. Esse problema está relacionado com o conteúdo de limites na matemática, especificamente lidando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de determinado ponto e usar algumas propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 0. Se substituirmos
diretamente na expressão, teremos:
Esse é um caso indeterminado, o que significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo. Precisamos de outra estratégia para resolver.
Passo 3
Quando temos uma forma indeterminada
, uma técnica útil é a regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Passo 4
Vamos aplicar a regra de L’Hôpital à nossa expressão. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas no limite:
Podemos simplificar ainda mais cancelando o 2 no numerador e denominador.
Passo 6
Sabemos que
, e a função seno é contínua. Portanto:
Resposta
O limite é igual a
.