Encontre as assíntotas horizontais e/ou verticais das funções:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
. Isso envolve entender um pouco sobre assíntotas, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca ou cruza. Vamos precisar analisar o comportamento da função nos extremos (para as assíntotas horizontais) e onde o denominador é zero (para as verticais).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é igual a zero, já que a função tende ao infinito nesses pontos. Então, vamos resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo
:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se essas soluções realmente são assíntotas verticais. Para isso, devemos conferir se o numerador também é zero nesses pontos. Se o numerador for zero no mesmo ponto que o denominador, teremos um “buraco” na função, e não uma assíntota vertical.
Vamos avaliar o numerador em
e
:
Para
:
Como o numerador não é zero,
é realmente uma assíntota vertical.
Para
:
Aqui, o numerador também é zero, então
não é uma assíntota vertical, mas sim um ponto onde a função tem um “buraco”.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador. Ambos são de grau 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. No numerador, o coeficiente líder é 2, e no denominador é 1.
Então, a assíntota horizontal é:
Resposta
A função
possui:
- Assíntota Horizontal:
- Assíntota Vertical: