Encontre as assíntotas horizontais e/ou verticais das funções:
f(x)=(2x^2+x-1)/(x^2-1) y=2 e x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Isso envolve entender um pouco sobre assíntotas, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca ou cruza. Vamos precisar analisar o comportamento da função nos extremos (para as assíntotas horizontais) e onde o denominador é zero (para as verticais).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é igual a zero, já que a função tende ao infinito nesses pontos. Então, vamos resolver a equação:

Passo 3

Resolvendo :
Então, temos possíveis assíntotas verticais em e .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se essas soluções realmente são assíntotas verticais. Para isso, devemos conferir se o numerador também é zero nesses pontos. Se o numerador for zero no mesmo ponto que o denominador, teremos um “buraco” na função, e não uma assíntota vertical.
Vamos avaliar o numerador em e :
Para :
Como o numerador não é zero, é realmente uma assíntota vertical.
Para :
Aqui, o numerador também é zero, então não é uma assíntota vertical, mas sim um ponto onde a função tem um “buraco”.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador. Ambos são de grau 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. No numerador, o coeficiente líder é 2, e no denominador é 1.
Então, a assíntota horizontal é:

Resposta

A função possui:
  • Assíntota Horizontal:
  • Assíntota Vertical:

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