Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
x^2 d x+2 y d y=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
x^2,dx + 2y,dy = 0, y(0)=2
Este é um caso de equação diferencial separável: podemos agrupar todos os termos em y com dy de um lado e os termos em x com dx do outro, para depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
2y,dy = -,x^2,dx
Agora integramos ambos os lados — à esquerda em y, à direita em x:
integral 2y,dy = -integral x^2,dx

Passo 3

Calcule as integrais:
integral 2y,dy = y^2 + C1, integral x^2,dx = x^33 + C2
Como há um sinal menos, obtemos
y^2 = -x^33 + C,
onde C = C1-C2 é constante geral.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=2. Em x=0,
y^2(0) = 2^2 = 4 = -0^33 + C ;Longrightarrow; C = 4
Logo a solução implícita fica
y^2 = 4 - x^33

Passo 5

Para expressar y isoladamente, fazemos
y = pmraiz,4 - x^33,
Como y(0)=2>0, escolhemos o ramo positivo:
y(x) = raiz,4 - x^33,

Resposta

boxedy(x) = raiz4 - x^33,

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