Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício envolve entender como funções trigonométricas se comportam perto de zero e usar algumas regras de limites para resolver. Para isso, vamos precisar saber sobre limites indeterminados e a Regra de L’Hospital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 0. Substituindo
na expressão:
A gente vê que chega em uma forma indeterminada
. Nesse caso, podemos usar a Regra de L’Hospital, que nos ajuda a resolver limites dessa natureza.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se
ou
, então:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador :
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
Vamos substituir
nessa nova expressão:
Resposta
O limite é
.