Calcule os limites: lim x 0 1-cos (2 x)sen(3 x) 0

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício envolve entender como funções trigonométricas se comportam perto de zero e usar algumas regras de limites para resolver. Para isso, vamos precisar saber sobre limites indeterminados e a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando 1 - cos(2 cdot 0)sen(3 cdot 0) = 1 - 10 = 00 se aproxima de 0. Substituindo na expressão:
A gente vê que chega em uma forma indeterminada . Nesse caso, podemos usar a Regra de L’Hospital, que nos ajuda a resolver limites dessa natureza.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou ddx(1 - cos(2x)) = 0 + 2sen(2x) = 2sen(2x) , então:
ddx(sen(3x)) = 3cos(3x)
Então, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
Vamos substituir limx 0 2sen(2x)3cos(3x) nessa nova expressão:

Resposta

O limite é .

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