Calcule os limites:
Passo 1
Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em cálculo, onde analisamos o comportamento de uma função à medida que a variável se aproxima de um valor específico. Para resolver, vamos precisar entender como o seno se comporta próximo de zero e como simplificar expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador . Sabemos que, para valores de
bem pequenos próximos de zero, o seno de
pode ser aproximado por
. Isso significa que:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador
. Podemos fatorar
em comum:
Quando
se aproxima de 0 pela direita (
),
é um número muito pequeno positivo, então
. Assim, o denominador se aproxima de:
Passo 4
Substituindo as aproximações que encontramos no numerador e no denominador na expressão original, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada:
À medida que
se aproxima de 0 pela direita,
cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito positivo. Multiplicando por
, obtemos que
tende a
.