Calcule os limites
lim x infty(1+pix)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinftyl(1+tfracpixr)^x. Isso é um limite exponencial do tipo (1+tfracax)^x, que geralmente a gente resolve usando transformação logarítmica e, se precisar, regra de l’Hôpital.

Passo 2

Definimos y = l(1+tfracpixr)^x e aplicamos o logaritmo natural para simplificar a expressão. Assim temos:
ln y = xlnl(1+tfracpixr)

Passo 3

Para encontrar limxtoinftyln y observamos que
limxtoinfty xlnl(1+tfracpixr) = limxtoinftyln(1+pi/x)1/x,
que é uma indeterminação 0/0. Aplicando a regra de l’Hôpital derivamos numerador e denominador:
Derivada do numerador:
ddxlnl(1+tfracpixr) = 11+pi/xcdotl(-pix^2r)
Derivada do denominador:
ddx(1/x) = -1x^2
Logo,
limxtoinftyln(1+pi/x)1/x = limxtoinfty-pi/(x^2(1+pi/x))-1/x^2 = limxtoinftypi1+pi/x = pi

Passo 4

Como limxtoinftyln y = pi, voltamos da transformação logarítmica para concluir que
limxtoinfty y = limxtoinfty e^ln y = e^pi

Resposta

e^pi

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