Use o Teorema do Valor Médio Integral para obter um ponto tal que

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos o Teorema do Valor Médio Integral à função ln(x) no intervalo [1,e^2]. Esse teorema garante que, sendo f contínua em [a,b], existe cin[a,b] tal que
integrala^b f(x),dx = f(c),(b - a)
Aqui, f(x)=ln(x), a=1 e b=e^2, e precisamos encontrar c que satisfaz
integral1^e^2 ln(x),dx = ln(c)l(e^2-1r)

Passo 2

Primeiro, calculamos a integral
integral1^e^2 ln(x),dx
usando integração por partes. Vamos escolher
u = ln(x), dv = dx,
então
du = 1x,dx, v = x
Pela fórmula de partes,
integral ln(x),dx = x,ln(x) - integral xcdot1x,dx = x,ln(x) - x + C

Passo 3

Agora avaliamos a antiderivada F(x)=xln(x)-x de x=1 até x=e^2:
F(e^2) = e^2ln(e^2) - e^2 = e^2cdot 2 - e^2 = e^2,
F(1) = 1cdotln(1) - 1 = 0 - 1 = -1
Logo,
integral1^e^2 ln(x),dx = F(e^2) - F(1) = e^2 - (-1) = e^2 + 1

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Médio Integral, existe cin[1,e^2] tal que
integral1^e^2 ln(x),dx = ln(c)l(e^2-1r)
Como já achamos integral1^e^2ln(x),dx = e^2+1, basta igualar:
ln(c)l(e^2-1r) = e^2 + 1 Longrightarrow ln(c) = e^2 + 1e^2 - 1

Passo 5

Por fim, exponenciamos para obter c:
c = exp!l(e^2 + 1e^2 - 1r)

Resposta

c = exp!l(e^2 + 1e^2 - 1r)

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