Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}

Passo 1

Temos a equação
x dydx = 2x e^x - y + 6x^2
O conteúdo é resolver uma equação diferencial de primeira ordem e verificar se ela é exata.

Passo 2

Colocamos tudo em forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Reescrevendo,
x dydx + y - 2x e^x -6x^2 = 0 Longrightarrow (y - 2x e^x -6x^2),dx + x,dy = 0
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M(x,y) = y - 2x e^x -6x^2, N(x,y) = x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
Phix = M e Phiy = N. Integramos M em relação a x:
Phi(x,y) = integrall(y - 2x e^x -6x^2r),dx = x,y -2integral x e^x,dx -6integral x^2,dx + h(y)
Sabemos que
integral x e^x,dx = x e^x - e^x
e
integral x^2,dx = x^33.
Portanto,
Phi(x,y) = x y -2l(x e^x - e^xr) -6cdotx^33 + h(y) = x y -2x e^x +2e^x -2x^3 + h(y)

Passo 5

Diferenciando Phi em relação a y e igualando a N:
Phiy = x + h'(y) stackrel!= x Longrightarrow h'(y) = 0 Longrightarrow h(y) = const

Passo 6

A solução geral implícita é
Phi(x,y) = x y -2x e^x +2e^x -2x^3 = C,
onde C é constante arbitrária.
Se quiser isolar y,
y = 2x e^x -2e^x +2x^3 + Cx

Resposta

x y -2x e^x +2e^x -2x^3 = C

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