Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}
Passo 1
Temos a equação
O conteúdo é resolver uma equação diferencial de primeira ordem e verificar se ela é exata.
Passo 2
Colocamos tudo em forma diferencial
. Reescrevendo,
Logo
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Buscamos uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
Sabemos que
e
.
Portanto,
e
Portanto,
Passo 5
Diferenciando
em relação a
e igualando a
:
Passo 6
A solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária.
Se quiser isolar ,
Se quiser isolar