Calcule os limites
lim x infty raizx^2+5 x-raizx^2-3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
limx infty raizx^2+5x - raizx^2-3x
Aqui, estamos lidando com limites no cálculo, especificamente quando x tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões com raízes quadradas para simplificar e identificar o comportamento delas conforme x cresce muito.

Passo 2

Primeiro, observe que tanto raizx^2+5x quanto raizx^2-3x têm x^2 dentro da raiz. Quando x é muito grande, o termo x^2 domina, mas ainda queremos entender a diferença entre essas duas expressões.

Passo 3

Para simplificar a diferença das raízes, vamos multiplicar e dividir pela conjugada. A conjugada de raizx^2+5x - raizx^2-3x é raizx^2+5x + raizx^2-3x. Assim, multiplicamos:
( raizx^2+5x - raizx^2-3x ) times raizx^2+5x + raizx^2-3xraizx^2+5x + raizx^2-3x

Passo 4

Aplicando a propriedade da diferença de quadrados, temos:
(x^2+5x) - (x^2-3x)raizx^2+5x + raizx^2-3x = 8xraizx^2+5x + raizx^2-3x

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador. Fatorando x^2 de dentro das raízes:
raizx^2+5x = x raiz1 + 5x e raizx^2-3x = x raiz1 - 3x

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
8xx raiz1 + 5x + x raiz1 - 3x = 8xx ( raiz1 + 5x + raiz1 - 3x ) = 8raiz1 + 5x + raiz1 - 3x

Passo 7

Agora, quando x infty, 5x e 3x tendem a zero. Então:
raiz1 + 5x raiz1 + 0 = 1 e raiz1 - 3x raiz1 - 0 = 1

Passo 8

Substituindo esses limites na expressão:
81 + 1 = 82 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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