Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime prime-6 y^prime+9 y=t^2 e^3 t, y(0)=2, y^prime(0)=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 6y' + 9y = t^2 e^3t,
com as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 6 . Vamos precisar usar as propriedades das Transformadas de Laplace para transformar essa equação no domínio de s , resolver para Y(s) , e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
  • A Transformada de y''(t) é s^2Y(s) - s y(0) - y'(0) .
  • A Transformada de y'(t) é s Y(s) - y(0) .
  • A Transformada de y(t) é Y(s) .
  • A Transformada de t^2 e^3t é 2(s - 3)^3 .
Aplicando isso na equação:
s^2Y(s) - s cdot 2 - 6 = 6s Y(s) - 6 cdot 2 + 9Y(s) = 2(s - 3)^3

Passo 3

Agora, vamos organizar tudo direitinho. Substituindo as transformadas na equação original:
(s^2Y(s) - 2s - 6) - 6(s Y(s) - 2) + 9Y(s) = 2(s - 3)^3
Vamos simplificar os termos:
s^2Y(s) - 2s - 6 - 6s Y(s) + 12 + 9Y(s) = 2(s - 3)^3
Agrupando os termos com Y(s) e os constantes:
(s^2 - 6s + 9)Y(s) + (-2s -6 +12) = 2(s - 3)^3
Simplificando mais:
(s^2 - 6s + 9)Y(s) - 2s + 6 = 2(s - 3)^3

Passo 4

Vamos isolar Y(s) . Primeiro, move o termo constante para o lado direito:
(s^2 - 6s + 9)Y(s) = 2s - 6 + 2(s - 3)^3
Agora, dividimos ambos os lados por s^2 - 6s + 9 :
Y(s) = 2s - 6s^2 - 6s + 9 + 2(s - 3)^3(s^2 - 6s + 9)

Passo 5

Vamos simplificar o denominador s^2 - 6s + 9 . Esse trinômio é um quadrado perfeito:
s^2 - 6s + 9 = (s - 3)^2
Substituindo na expressão de Y(s) :
Y(s) = 2s - 6(s - 3)^2 + 2(s - 3)^5
Podemos simplificar ainda mais a primeira fração:
2s - 6(s - 3)^2 = 2(s - 3)(s - 3)^2 = 2s - 3
Então, agora temos:
Y(s) = 2s - 3 + 2(s - 3)^5

Passo 6

Hora de aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(t) . Sabemos que:
  • L^-1 1s - a = e^a t .
  • L^-1 1(s - a)^n = t^n-1 e^a t(n-1)! .
Aplicando isso:
  1. Para 2s - 3 :
2 cdot e^3t
  1. Para 2(s - 3)^5 :
2 cdot t^4 e^3t4! = 2 t^4 e^3t24 = t^4 e^3t12

Resposta

Somando as duas partes, a solução da equação diferencial é:
y(t) = 2 e^3t + t^4 e^3t12

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