Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar as propriedades das Transformadas de Laplace para transformar essa equação no domínio de
, resolver para
, e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
- A Transformada de
é . - A Transformada de
é . - A Transformada de
é . - A Transformada de
é .
Aplicando isso na equação:
Passo 3
Agora, vamos organizar tudo direitinho. Substituindo as transformadas na equação original:
Vamos simplificar os termos:
Agrupando os termos com
e os constantes:
Simplificando mais:
Passo 4
Vamos isolar
. Primeiro, move o termo constante para o lado direito:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador
. Esse trinômio é um quadrado perfeito:
Substituindo na expressão de
:
Podemos simplificar ainda mais a primeira fração:
Então, agora temos:
Passo 6
Hora de aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
-
. -
.
Aplicando isso:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Somando as duas partes, a solução da equação diferencial é: