Calcule os limites:
lim x +infty raizx^2+65-2 x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto+infty raizx^2+65-2x. O conteúdo aqui é limites no infinito e, para resolver, vamos usar a técnica de fatorar a maior potência de x que aparece no numerador e no denominador.

Passo 2

Quando xto+infty, a ideia é simplificar a expressão dividindo tudo por x (ou seja, fatorando x) tanto debaixo da raiz quanto no denominador. Isso permite reescrever cada parte em função de x no denominador em frações que tendem a zero.

Passo 3

Dentro da raiz temos raizx^2+6. Note que x>0 quando xto+infty, então podemos escrever:
raizx^2+6=xraiz1+6x^2
No denominador, fatoramos x em 5-2x:
$$
5-2x = x\Bigl(-2 + \frac{5}{x}\Bigr).
5-2x = xl(-2 + 5xr) çã\frac{\sqrt{x^2+6}}{5-2x} = \frac{x\sqrt{1+6/x^2}}{x(-2+5/x)} = \frac{\sqrt{1+6/x^2}}{-2+5/x}.$$

Passo 4

Agora aplicamos o limite. Quando xto+infty, temos 6/x^2to0 e 5/xto0. Logo:
limxto+inftyraiz1+6/x^2-2+5/x = raiz1+0-2+0 = 1-2 = -tfrac12

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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