Calcule os limites.
lim x -infty 2 x^2-3 x-4raizx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função 2x^2 - 3x - 4raizx^2 + 1 quando x tende a menos infinito ( x -infty). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites de funções polinomiais e de funções radicais, especialmente entendendo como os termos de maior grau influenciam o comportamento da função quando x cresce demais, seja para positivo ou para negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando x fica muito grande em valor absoluto, ou seja, tende a menos infinito.
No numerador, temos 2x^2 - 3x - 4. Aqui, o termo de maior grau é 2x^2, que domina o comportamento da expressão quando x é muito grande (em valor absoluto). Os outros termos ( -3x e -4) tornam-se menos significativos à medida que x cresce.
No denominador, temos raizx^2 + 1. Novamente, o termo de maior grau dentro da raiz é x^2, então podemos simplificar essa expressão para entender como ela se comporta quando x tende a menos infinito.

Passo 3

Vamos simplificar tanto o numerador quanto o denominador considerando apenas os termos de maior grau:
Numerador simplificado: 2x^2
Denominador simplificado: raizx^2 = |x|
Mas como x está tendendo a menos infinito ( x -infty), x é negativo, então |x| = -x.

Passo 4

Substituindo as expressões simplificadas na função original, temos:
limx -infty 2x^2-x = limx -infty -2x^2x
Agora, simplificamos a fração dividindo os termos:
-2x^2x = -2x

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite de -2x quando x tende a menos infinito:
limx -infty -2x
Como x está indo para menos infinito, -2x estará indo para mais infinito. Isso porque multiplicar um número negativo muito grande por -2 torna o resultado positivo e muito grande.

Resposta

Portanto, o limite é +infty.

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