Um homem com 2 m de altura está correndo à velocidade de 3 m / s e passa embaixo de uma lâmpada num poste a 6 m acima do solo. Encontre a velocidade com que o topo de sua sombra se move e a taxa de variação do comprimento de sua sombra.

Passo 1

O enunciado diz que um homem de 2 m de altura corre a 3 m/s afastando-se de um poste cuja lâmpada está 6 m acima do solo. Queremos (a) a velocidade com que o topo da sombra se afasta e (b) a taxa de variação do comprimento da sombra. O conteúdo é de taxas relacionadas usando semelhança de triângulos.

Passo 2

Definimos x(t) como a distância do homem ao poste e y(t) como o comprimento da sombra atrás dele. Pelos triângulos semelhantes, temos
6x+y = 2y
Multiplicando, 6y = 2(x+y), ou seja
6y = 2x + 2y Longrightarrow 4y = 2x Longrightarrow y = x2

Passo 3

Derivando em relação ao tempo t, obtemos
dydt = 12,dxdt

Passo 4

Como o homem corre a dxdt=3 m/s, segue
dydt = 12cdot 3 = 1,5 m/s
Isto é, o comprimento da sombra cresce a 1,5 m/s.

Passo 5

O topo da sombra está a x+y do poste, então sua velocidade é
ddt(x+y) = dxdt + dydt = 3 + 1,5 = 4,5 m/s

Resposta

Velocidade do topo da sombra: 4,5 m/s
Taxa de variação do comprimento da sombra: 1,5 m/s

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