Um homem com 2 m de altura está correndo à velocidade de
e passa embaixo de uma lâmpada num poste a 6 m acima do solo. Encontre a velocidade com que o topo de sua sombra se move e a taxa de variação do comprimento de sua sombra.
Passo 1
O enunciado diz que um homem de
m de altura corre a
m/s afastando-se de um poste cuja lâmpada está
m acima do solo. Queremos (a) a velocidade com que o topo da sombra se afasta e (b) a taxa de variação do comprimento da sombra. O conteúdo é de taxas relacionadas usando semelhança de triângulos.
Passo 2
Definimos
como a distância do homem ao poste e
como o comprimento da sombra atrás dele. Pelos triângulos semelhantes, temos
Multiplicando,
, ou seja
Passo 3
Derivando em relação ao tempo
, obtemos
Passo 4
Como o homem corre a
m/s, segue
Isto é, o comprimento da sombra cresce a
m/s.
Passo 5
O topo da sombra está a
do poste, então sua velocidade é
Resposta
Velocidade do topo da sombra:
m/s
Taxa de variação do comprimento da sombra: m/s
Taxa de variação do comprimento da sombra: